Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0）．
（1）求此橢圓的標準方程．
（2）若過點F且傾斜角為

3π

4

的直線與此橢圓交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0），求出a，b，即可求此橢圓的方程；
（2）過點F且傾斜角為

3π

4

的直線方程為y=-（x-1），與橢圓方程聯立，利用弦長公式，即可求|AB|的值．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0），
∴c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，
∴b=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）過點F且傾斜角為

3π

4

的直線方程為y=-（x-1），代入橢圓方程，可得2x²-3x=0，∴x=0或x=

3

2

，
∴|AB|=

2

×

3

2

=

3

2

2

．

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．