12.如圖,已知矩形ABCD中,AB=2$\sqrt{2}$,AD=$\sqrt{2}$,M為DC的中點(diǎn),將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.

(1)求證AD⊥BM.;
(2)若E是線段DB的中點(diǎn),求二面角E-AM-D的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出BM⊥AM,BM⊥面ADM,由此能證明BM⊥AD.
(2)以AM中點(diǎn)O為原點(diǎn),OA為x軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E-AM-D的余弦值.

解答 證明:(1)∵長方形ABCD中,AB=2$\sqrt{2}$,AD=$\sqrt{2}$,M為DC的中點(diǎn),
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM,
∵面ADM⊥面ABCM,
∴BM⊥面ADM,
∵AD?面ADM,∴BM⊥AD.
解:(2)以AM中點(diǎn)O為原點(diǎn),OA為x軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),E(-$\frac{1}{2}$,1,$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{EA}$=($\frac{3}{2}$,-1,-$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{AM}$=(-2,0,0),
平面AMD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
設(shè)平面EAM的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=\frac{3}{2}x-y-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-2x=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,-2),
設(shè)二面角E-AM-D的平面角為θ,
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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