【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線上,且滿足,(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率乘積為1的兩條不重合的直線,且與拋物線交于兩點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)分別為,求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)y2=4x.(2)直線GH過(guò)定點(diǎn)(4,0)
【解析】分析:(1)直接把點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入得p的值,即得拋物線的方程.(2)
先求出直線GH的方程y-2k=[x-(2k2-4k+6)],再化簡(jiǎn)分析找到它的定點(diǎn).
詳解:(Ⅰ)解:,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,6),
∴36=18p,∴p=2,
所以拋物線C的方程為y2=4x.
(Ⅱ)證明:由條件可知,直線l1,l2的斜率存在且均不能為0,也不能為1、-1
設(shè)l1:y=k(x-6)+4,則l2的方程為y=(x-6)+4,
將l1方程與拋物線方程聯(lián)立得ky2-4y+16-24k=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,又y1+y2=k(x1+x2-12)+8,
∴x1+x2=,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為,
用代替k,得到點(diǎn)H坐標(biāo)為(2k2-4k+6,2k),
所以
∴GH方程為:y-2k=[x-(2k2-4k+6)].
整理得
令y=0,則x=4,所以直線GH過(guò)定點(diǎn)(4,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果有一天我們分居異面直線的兩頭,那我一定穿越時(shí)空的阻隔,畫條公垂線向你沖來(lái),一刻也不愿逗留.如圖1所示,在梯形中,//,且,,分別延長(zhǎng)兩腰交于點(diǎn),點(diǎn)為線段上的一點(diǎn),將沿折起到的位置,使,如圖2所示.
(1)求證:;
(2)若,,四棱錐的體積為,求四棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】判斷下列說(shuō)法是否正確,若錯(cuò)誤,請(qǐng)舉出反例
(1)互斥的事件一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件不一定是互斥事件;
(2)互斥的事件不一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件;
(3)事件與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大;
(4)事件與事件B同時(shí)發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)().
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(Ⅱ)求證:,并求等號(hào)成立的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】繼共享單車之后,又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開(kāi)始亮相北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”,每次租車收費(fèi)按行駛里程加用車時(shí)間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”,李先生家離上班地點(diǎn)10公里,每天租用共享汽車上下班,由于堵車因素,每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下:
時(shí)間(分鐘) | |||||
次數(shù) | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間,范圍為分鐘.
(Ⅰ)若李先生上.下班時(shí)租用一次共享汽車路上開(kāi)車不超過(guò)45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個(gè)月(以20天計(jì)算)平均用車費(fèi)用大約是多少(同一時(shí)段,用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某顏料公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過(guò)50噸,160噸和200噸,如果A產(chǎn)品的利潤(rùn)為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤(rùn)為200元/噸,設(shè)公司計(jì)劃一天內(nèi)安排生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸,B產(chǎn)品y噸.
(I)用x,y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并在下面的坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(II)該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中a >2.
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(II)若對(duì)于任意的,恒有,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若底面是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且,求二面角的正弦值.
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