如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,直線l與平面ABCD平行,E和F是l上的兩個(gè)不同點(diǎn),且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn),EE′和FF′都與平面ABCD垂直.
(1)證明:直線E′F′垂直且平分線段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面體ABCDEF的體積.
(1)見(jiàn)解析(2)2.
【解析】(1)證明 ∵EA=ED且EE′⊥平面ABCD,
∴E′D=E′A,∴點(diǎn)E′在線段AD的垂直平分線上.
同理,點(diǎn)F′在線段BC的垂直平分線上.
又四邊形ABCD是正方形,
∴線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線,即點(diǎn)E′、F′都在線段AD的垂直平分線上.
∴直線E′F′垂直且平分線段AD.
(2)解 如圖,連接EB、EC,由題意知多面體ABCDEF可分割成正四棱錐E?ABCD和正四面體E?BCF兩部分.設(shè)AD的中點(diǎn)為M,在Rt△MEE′中,由于ME′=1,ME=,∴EE′=.
∴VE?ABCD=·S正方形ABCD·EE′=×22×=.
又VE?BCF=VC?BEF=VC?BEA=VE?ABC=S△ABC·EE′=××22×=,
∴多面體ABCDEF的體積為VE?ABCD+VE?BCF=2.
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設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m等于( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
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若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ax-6=0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2,則a=________.
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如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)證明:AA1⊥BD;
(2)證明:CC1∥平面A1BD.
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已知兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面α,β,給出下列四個(gè)命題:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n.其中正確的個(gè)數(shù)有( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
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在具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中,體積最大的幾何體的表面積為( ).
A.13 B.7+3 C.π D.14
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正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.
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已知雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,則它的離心率為________.
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在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范圍.
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