Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=O，H點為點O在平面D₁DCC₁內(nèi)的正投影．
（1）求以A為頂點，四邊形D₁DCH為底面的四棱錐的體積；
（2）求證：BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（3）求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析：1）由正方體的性質(zhì)可得H為CC₁的中點，從而可得CH=HC₁=1，由已知容易證明AD⊥平面D₁DCC₁，分別求出四邊形D₁DCH的面積及四棱錐的高CD
（2）由四邊形BCC₁B₁是正方形可證，BC₁⊥B₁C，然后可證A₁B₁⊥BC₁，根據(jù)線面垂直的平判定定理可證
（3）由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為垂足，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．在RtBA₁O中易求角∠BA₁O

解答：解：（1）如圖，∵點O是正方形BCC₁B₁的中心∴H為CC₁的中點，∴CH=HC₁=1
∴SD1DCH=

1

2

×(DD1+CH)×CD=

1

2

×(2+1)×2=3∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，CD∩DD₁=D∴AD⊥平面D₁DCC₁，
故所求四棱錐體積為VA-D1DCH=

1

3

×SD1DCH×AD
=

1

3

×3×2=2．
（2）由題意四邊形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁BC₁?平面BCC₁B₁∴A₁B₁⊥BC₁．（8分）
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）如圖，連A₁O，由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為
垂足，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B=2

2

，BO=

2

，
所以∴sin∠BA1O=

BO

A1B

=

1

2

∴∠BA₁O=30°．
因此，直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角為30⁰．

點評：棱錐體積的求解的關(guān)鍵是需要找的與已知平面垂直的直線即所求棱錐的高，線面角的求解的關(guān)鍵是作出與已知平面垂直的直線，進而找到線面角，在直角三角形中求出所求的角．