Question

13．己知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）-x
（1）判斷f（x）的奇偶性并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調性（不需要證明）；
（3）解關于m的不等式f（m）-f（2m+1）＜0．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）-x是偶函數(shù)．利用對數(shù)性質能推導出f（-x）=f（x）．
（2）根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，可得f（x）的單調性；
（3）若f（m）-f（2m+1）＜0，則f（m）＜f（2m+1），結合函數(shù)的單調性，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）-x是偶函數(shù)，理由如下：
函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）-x的定義域R關于原點對稱，
且f（-x）=log₂（4^-x+1）+x=log₂（$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$）+x=log₂（4^x+1）-2x+x=log₂（4^x+1）-x=f（x），
故f（x）為偶函數(shù)；
（2）偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，在（-∞，0）上為減函數(shù)；
（3）若f（m）-f（2m+1）＜0，則f（m）＜f（2m+1），
則|m|＜|2m+1|，即m²＜（2m+1）²，
解得：m∈（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

點評 本題考查的知識是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，利用單調性解不等式，難度中檔．