如右下圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2。 E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn),且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C1的余弦值;

(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值.

 

 

 

【答案】

解:(I)(法一)矩形ABCD中過(guò)C作CHDE于H,連結(jié)C1H

CC1面ABCD,CH為C1H在面ABCD上的射影

C1HDE   C1HC為二面角C—DE—C1的平面角

矩形ABCD中得EDC=DCH中得CH=,

又CC1=2,

C1HC中,,

C1HC

二面角C—DE—C1的余弦值為             7分

(2)以D為原點(diǎn),分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,則有A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B(3,4,0),E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2)

設(shè)EC1與FD1所成角為β,則

   

故EC1與FD1所成角的余弦值為          14分

(法二)(1)以D為原點(diǎn),分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,則有A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B(3,4,0),E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2)

于是,,,

設(shè)向量與平面C1DE垂直,則有

,則         

又面CDE的法向量為

                     7分

由圖,二面角C—DE—C1為銳角,故二面角C—DE—C1的余弦值為    8分

(II)設(shè)EC1與FD1所成角為β,則

 

故EC1與FD1所成角的余弦值為                               14分

 

【解析】略

 

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  如右下圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2。 E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn),且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C1的余弦值;

(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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A.       B.        C.        D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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