Question

函數(shù)f（x）=x-

a

x

的定義域為（0，1]．
（1）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最值．并求出函數(shù)取最值時x的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)單調區(qū)間，從而求出a的范圍；
（2）通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)f（x）的最值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+

a

x2

，
a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]遞增，不合題意，
a＜0時，令f′（x）＜0，解得：-

-a

＜x＜

-a

，而0＜x≤1，
∴

-a

≥1，即a≤-1時，f（x）在（0，1]上遞減；
（2）a≥0時，f（x）在（0，1]遞增，
f（x）無最小值，f（x）的最大值是f（1）=1-a，
-1＜a＜0時，f（x）在（0，

-a

）遞減，在（

-a

，1]遞增，
∴f（x）的最小值是f（

-a

）=0，f（x）無最大值．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查了函數(shù)的最值問題，考查了分類討論，是一道中檔題．