Question

已知(

x

+

2

x

)n展開式中的所有二項式系數(shù)和為512．
（1）求展開式中的常數(shù)項；
（2）求展開式中所有項的系數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）利用展開式中的所有二項式系數(shù)和為512，先求出n，然后利用二項展開式的通項公式求常數(shù)項．
（2）令x=1，即可得到展開式中所有項的系數(shù)之和．

解答：解：（1）∵展開式中的所有二項式系數(shù)和為512．
∴2ⁿ=512，解得n=9．
則第r+1項為通項公式為：Tr+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

2

x

)r=2r

C

r 9

x

9

2

-

3

2

r，（r=0，1，2，…，9）
令

9

2

-

3

2

r=0得r=3．
故常數(shù)項為T4=23

C

3 9

=672．
（2）令x=1，得系數(shù)和為（1+2）⁹=3⁹．

點評：本題主要考查二項展開式定理的應(yīng)用，利用換元法將多項式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的多項式形式是解決本題的關(guān)鍵．