已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2+（y-3）2=1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為3-
2
的直線l恰好與圓C2相切．
（Ⅰ）已知橢圓C1的離心率；
（Ⅱ）若
PM
•
PN
的最大值為49，求橢圓C1的方程．
分析：（Ⅰ先得出直線l的方程，再由直線與圓相切得a2=2c2，從而求得離心率；
（II）設P（x，y）由
PM
•
PN
的最大值為49，求得c的值，從而求得橢圓方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知直線l的方程為bx+cy-(3-
2
)c=0，
因為直線與圓c2：x2+（y-3）2=1相切，所以d=
|3c-3c+
2c
|
b2+c2
=1，即a2=2c2，
從而e=
2
2
；（6分）
（Ⅱ）設P（x，y）、圓C2的圓心記為C2，則
x2
2c2
+
y2
c2
=1（c＞0），又
PM
•
PN
=(
PC2
+
C2M)
•(
PC2
+
C2N
)=
PC2
2-
C2N
2=x2+（3-y）2-1=-（y+3）2+2c2+17（-c≤y≤c）．（8分）
j當c≥3時，(
PM
•
PN
)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此時橢圓方程為
x2
32
+
y2
16
=1；
k當0＜c＜3時，(
PM
•
PN
)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，
解得c=5
2
-3但c=5
2
-3＞3，故舍去．
綜上所述，橢圓的方程為
x2
32
+
y2
16
=1．（14分）
點評：本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質及位置關系的應用，滲透向量、函數(shù)最值等問題，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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