【題目】已知幾何體ABCDEF中,AB∥CD,AD⊥DC,EA⊥平面ABCD,F(xiàn)C∥EA,AB=AD=EA=1,CD=CF=2.
(Ⅰ)求證:平面EBD⊥平面BCF;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面ECD的距離.

【答案】解:(I)證明:∵AB∥CD,AD⊥DC,AB=AD=1,CD=2,

∴BD=BC= ,

∴BD2+BC2=CD2

∴BD⊥BC,

∵EA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

∴EA⊥BD,∵EA∥FC,

∴FC⊥BD,

又BC平面BCF,F(xiàn)C平面BCF,BC∩CF=C,

∴BD⊥平面FBC,

又BD平面BDE,

∴平面BDE⊥平面BCF.

(II)解:過A作AM⊥DE,垂足為M,

∵EA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,

∴EA⊥CD,又CD⊥AD,EA∩AD=A,

∴CD⊥平面EAD,又AM平面EAD,

∴AM⊥CD,又AM⊥DE,DE∩CD=D,

∴AM⊥平面CDE,

∵AD=AE=1,EA⊥AD,

∴AM= ,即A到平面CDE的距離為

∵AB∥CD,CD平面CDE,AB平面CDE,

∴AB∥平面CDE,

∴B到平面CDE的距離為


【解析】(I)先計算BD,BC,利用勾股定理的逆定理證明BD⊥BC,再利用EA⊥平面ABCD得出AE⊥BD,從而有CF⊥BD,故而推出BD⊥平面FBC,于是平面EBD⊥平面BCF;(II)證明AB∥平面CDE,于是B到平面CDE的距離等于A到平面CDE的距離,過A作AM⊥DE,證明AM⊥平面CDE,于是AM的長即為B到平面CDE的距離.
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】若函數(shù)f(x)在其圖像上存在不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐標(biāo)滿足條件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0,則稱f(x)為“柯西函數(shù)”, 則下列函數(shù):
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)=
其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】執(zhí)行所給的程序框圖,則輸出的值是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)f(x)有最大值M,則M的取值范圍是(
A.( ,0)
B.(0, ]
C.(0, ]
D.( ]

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|2x+2|﹣5(a∈R). (Ⅰ)試比較f(﹣1)與f(a)的大;
(Ⅱ)當(dāng)a≥﹣1時,若函數(shù)f(x)的圖象和x軸圍成一個三角形,則實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,若這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不超過m小時的人數(shù)為164,則m的值約為(
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+b)+ex﹣1(a≠0).
(1)當(dāng)a=﹣1,b=1時,判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù);
(2)若f(x)≤ex﹣1+x+1,求ab的最大值.

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【題目】某社區(qū)新建了一個休閑小公園,幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域,如圖,社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域,要求每個區(qū)域隨機(jī)用一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(用公共邊的)所選花卉顏色不能相同,則不同種植方法的種數(shù)共有(
A.96
B.114
C.168
D.240

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【題目】共享單車進(jìn)駐城市,綠色出行引領(lǐng)時尚,某市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,2016年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示,一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示,若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”,使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”,已知在“經(jīng)常使用單車用戶”中有 是“年輕人”.
(Ⅰ)現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查,采用隨機(jī)抽樣的方法,抽取一個容量為200的樣本,請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù),補(bǔ)全下列2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗,判斷能有多大把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)?
使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表

年輕人

非年輕人

合計

經(jīng)常使用共享單車用戶

120

不常使用共享單車用戶

80

合計

160

40

200

(Ⅱ)將頻率視為概率,若從該市市民中隨機(jī)任取3人,設(shè)其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望.
(參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中,K2= ,n=a+b+c+d)

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