Question

【題目】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

②在①結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求出；②討論的取值，根據(jù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

則公比，則

（2）①當(dāng)時(shí)，得 時(shí)，得；時(shí)，得，

則由，得．

而當(dāng)時(shí)，由得．

由，知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列．

②由題意知，

則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，，所以成立；

當(dāng)時(shí)，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，

則：

又，所以 ，

即，所以

因?yàn)?/span>為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以上式無(wú)解．

即當(dāng)時(shí)，

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有．