【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)x∈(0,π]時(shí),f(x)<1;
(2)求證:當(dāng)m>2時(shí),對(duì)任意x0∈(0,π] ,存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析
【解析】
(1)變換得到,設(shè),求導(dǎo)得到最值得到答案.
(2)只需要求出f(x)在(0,π]上的值域,然后研究g(x)的單調(diào)性是先增后減或先減后增,同時(shí)說明每一段上的函數(shù)值范圍都包含f(x)的值域即可.
(1),,即,設(shè),
則,函數(shù)單調(diào)遞減,故,即,得證.
(2)f(π)=0,當(dāng)時(shí),,故f(x)的值域?yàn)?/span>[0,1).
又因?yàn)?/span>g′(x),x∈(0,π],m>2.
令∈(0,1).顯然y=mx﹣2是增函數(shù).
∴時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減;,g′(x)>0,g(x)遞增.
此時(shí)g(x)min,(m>2).
將上式化簡(jiǎn)并令r(m)=2lnm﹣m+2﹣2ln2,m>2.
∵,∴r(m)在(2,+∞)上遞減.
所以r(m)<r(2)=0,故g(x)min<0.
顯然當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞,即當(dāng)時(shí),g(x)遞減,
且函數(shù)值取值集合包含f(x)的值域[0,1);
而g(π)=(π﹣1)m﹣2lnπ>2(π﹣1)﹣2lnπ=2(π﹣1﹣lnπ)>2(3﹣1﹣lnπ),
∵,∴,
即當(dāng)x時(shí),g(x)遞增,且函數(shù)值取值集合包含f(x)的值域[0,1).
所以當(dāng)m>2時(shí),對(duì)任意x0∈(0,π],存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)
使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某大型廠區(qū)有三個(gè)值班室,值班室在值班室的正北方向千米處,值班室在值班室的正東方向千米處.
(1)保安甲沿從值班室出發(fā)行至點(diǎn)處,此時(shí),求的距離;
(2)保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室,保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室,甲乙同時(shí)出發(fā),甲的速度為千米/小時(shí),乙的速度為千米/小時(shí),若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系,對(duì)講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為千米(含千米),試問有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自由購(gòu)是通過自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下:
20以下 | 70以上 | ||||||
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu),該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.
調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列表,并判斷是否由的把握認(rèn)為.了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | p> | ||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取兩人,求兩人都是文科生的概率.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計(jì)算得,參照下表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到正確結(jié)論是( )
A. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”
B. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”
D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩種品牌各三種車型2017年7月的銷量環(huán)比(與2017年6月比較)增長(zhǎng)率如下表:
A品牌車型 | A1 | A2 | A3 | ||||
環(huán)比增長(zhǎng)率 | -7.29% | 10.47% | 14.70% | ||||
B品牌車型 | B1 | B2 | B3 | ||||
環(huán)比增長(zhǎng)率 | -8.49% | -28.06% | 13.25% | ||||
根據(jù)此表中的數(shù)據(jù),有如下關(guān)于7月份銷量的四個(gè)結(jié)論:①A1車型銷量比B1車型銷量多;
②A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長(zhǎng)率可能大于14.70%;
③B品牌三款車型總銷量環(huán)比增長(zhǎng)率可能為正;
④A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長(zhǎng)率可能小于B品牌三種車型總銷量環(huán)比增長(zhǎng)率.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代勞動(dòng)人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉(cāng)、建囤等工程中,積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計(jì)算的方法,這些方法以實(shí)際問題的形式被收入我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中.《九章算術(shù)》將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,如圖所示的陽馬三視圖,則它的體積為( )
A.B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族,己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征()和嚴(yán)重急性呼吸綜合征()等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒()是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中,感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.
某醫(yī)院為篩查冠狀病毒,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有n()份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:
方式一:逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次.
方式二:混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).
若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.
假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p().現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
(1)若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若p與干擾素計(jì)量相關(guān),其中()是不同的正實(shí)數(shù),
滿足且()都有成立.
(i)求證:數(shù)列等比數(shù)列;
(ii)當(dāng)時(shí),采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少,求k的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過定點(diǎn).
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