Question

(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)滿足）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)．

（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，的解析式；

（3）對(duì)于確定的時(shí)，，試研究似周期函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042808400396919851/SYS201304280840342972188646_DA.files/image001.png">關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以 又，  用代替得可知，

．即函數(shù)是偶函數(shù)；（2）；（3） ．

【解析】

試題分析：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042808400396919851/SYS201304280840342972188646_DA.files/image001.png">關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

所以， 又，用代替得可知，

．即函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，

；

（3）當(dāng)時(shí)，

顯然時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù) 

又時(shí)，是增函數(shù)，

此時(shí)

若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么它必須是增函數(shù)，則必有

，解得 ．

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的基本性質(zhì)有單調(diào)性和奇偶性，它們是函數(shù)的兩個(gè)重要的性質(zhì)，在解決函數(shù)問(wèn)題中起著非常重要的作用，主要用于判斷函數(shù)單調(diào)性、求最值、求參數(shù)的取值范圍等