17.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{lnx}-ax$.
(1)a=1,x>1時,求證:$f(x)•\frac{x-1}{x}<\frac{3-x}{2}$;
(2)求證:$\sum_{k=1}^n{\frac{2}{2k+1}}≤\frac{2}{3}+ln\frac{n+1}{2}\;(n∈N,n≥2)$;
(3)若$?{x_1},{x_2}∈[{e,{e^2}}]$,使f(x1)-f′(x2)≤a成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)將不等式進行轉化為lnx>$\frac{2(x-1)}{x+1}$,構造函數(shù)h(x)=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$,求函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)的單調性證明不等式即可.
(2)根據(jù)由(1)可知,lnx>$\frac{2(x-1)}{x+1}$,令x=$\frac{n+1}{n}$,則ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{2}{2n+1}$,累加即可得以證明.
(3)問題等價于“當x∈[e,e2]時,有f(x)min≤f′(x)max+a”,由此利用導數(shù)性質結合分類討論思想,能求出實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)證明:當a=1,x>1時,不等式等價為($\frac{x}{lnx}$-x)$\frac{x-1}{x}$<$\frac{3-x}{2}$;
即($\frac{1}{lnx}$-1)(x-1)<$\frac{3-x}{2}$;
即 $\frac{1}{lnx}$--1<$\frac{3-x}{2}$×$\frac{1}{x-1}$;
整理得lnx>$\frac{2(x-1)}{x+1}$=$\frac{2(x+1)-4}{x+1}$=2-$\frac{4}{x+1}$,
設h(x)=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$,
則h′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{(x+1)^{2}}$=$\frac{(x+1)^{2}-4x}{x(x+1)^{2}}$=$\frac{(x-1)^{2}}{x(x+1)^{2}}$,
∵x>1,
∴h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)為增函數(shù),
∴h(x)>h(1)=ln1-2+$\frac{4}{1+1}$=-2+2=0,
則h(x)>0,即不等式lnx>$\frac{2(x-1)}{x+1}$成立,
則f(x)$•\frac{x-1}{x}$<$\frac{3-x}{2}$成立.
(2)由(1)可知,lnx>$\frac{2(x-1)}{x+1}$,
令x=$\frac{n+1}{n}$,則ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{2(\frac{n+1}{n}-1)}{\frac{n+1}{n}+1}$=$\frac{2}{2n+1}$,
∴l(xiāng)n2>$\frac{2}{3}$,ln$\frac{3}{2}$>$\frac{2}{5}$,ln$\frac{3}{4}$>$\frac{2}{7}$,…,ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{2}{2n+1}$,
累加可得,ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln2+ln$\frac{n+1}{2}$>$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{2}{2n+1}$=$\frac{2}{3}$+∑k=1n$\frac{2}{2k+1}$,
∴$\sum_{k=1}^n{\frac{2}{2k+1}}≤\frac{2}{3}+ln\frac{n+1}{2}\;(n∈N,n≥2)$;
(3)命題“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)-f′(x2)≤a
即f(x1)≤f′(x2)+a成立”,
等價于“當x∈[e,e2]時,有f(x)min≤f′(x)max+a”,
由(Ⅰ)知,當x∈[e,e2]時,lnx∈[1,2],$\frac{1}{lnx}$∈[$\frac{1}{2}$,1],
f′(x)=-a+$\frac{lnx-1}{ln(x)^{2}}$=-($\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{4}$-a,
f′(x)max+a=$\frac{1}{4}$,
問題等價于:“當x∈[e,e2]時,有f(x)min≤$\frac{1}{4}$”,
①當-a≤-$\frac{1}{4}$,即a$≥\frac{1}{4}$時,由(Ⅰ),f(x)在[e,e2]上為減函數(shù),
則f(x)min=f(e2)=-ae2+$\frac{{e}^{2}}{2}$≤$\frac{1}{4}$,
∴-a≤$\frac{1}{4{e}^{2}}$-$\frac{1}{2}$,
∴a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$.
②當-$\frac{1}{4}$<-a<0,即0<a<$\frac{1}{4}$時,∵x∈[e,e2],∴l(xiāng)nx∈[$\frac{1}{2}$,1],
∵f′(x)=-a+$\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$,由復合函數(shù)的單調性知f′(x)在[e,e2]上為增函數(shù),
∴存在唯一x0∈(e,e2),使f′(x0)=0且滿足:
f(x)min=f(x0)=-ax0+$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$,
要使f(x)min≤$\frac{1}{4}$,
∴-a≤$\frac{1}{4{x}_{0}}$-$\frac{1}{ln{x}_{0}}$<$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$,
與-$\frac{1}{4}$<-a<0矛盾,
∴-$\frac{1}{4}$<-a<0不合題意.
綜上,實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$,+∞).

點評 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基本知識.考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用,注意導數(shù)性質的合理運用,屬于難題

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C.命題p:“$?{x_0}∈R,x_0^2-{x_0}-5>0$”的否定¬p:“?x∈R,x2-x-5≤0”
D.若f(x)是定義在R上的函數(shù),則“f(0)=0”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件

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(Ⅰ)求出f(5)的值;
(Ⅱ)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n)與f(n-1)之間的關系式,并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式.

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A.-4B.0C.4D.-4或0

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