Question

設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c＞0，若以F₁F₂為斜邊的等腰直角三角形F₁AF₂的直角邊的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則等于________．

Answer 1

分析：記雙曲線(xiàn)的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，M在y軸正半軸上，則可表示出F₁和M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出線(xiàn)段MF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)整理即可求得e．
解答：記雙曲線(xiàn)的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，
∴線(xiàn)段MF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-，）．
又∵線(xiàn)段MF₁的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，
∴-=1，即 -=4，-=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±．又e²＞1，
∴e²=3+
∵（ ）²=3+，
∴e=．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系以及求離心率的問(wèn)題．考查了學(xué)生的綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．