Question

已知函數(shù)f(x)=

(x2-2ax)ex x＞0 bx x≤0

，x=

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）若方程f（x）-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)極值的定義可知f′(

2

)=0，建立等式關(guān)系，解之即可；
（II）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究出函數(shù)在（0，+∞）上的值域，然后要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，討論b與0的大小，結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可．

解答：解：（I）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax）e^x
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（2分）
由已知，f′(

2

)=0，
∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，得a=1
（II）由（I）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x
令f'（x）=0得x=

2

（x=-

2

舍去）
當(dāng)x＞0時(shí)

所以，當(dāng)x∈(0，

2

)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當(dāng)x∈(

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
∴x＞0時(shí)，f（x）∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或m=(2-

2

)e

2

（2）當(dāng)b=0時(shí)，m∈((2-2

2

)e

2

，0)
（3）當(dāng)b＜0時(shí)，m((2-2

2

)e

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)，幾何意義及其應(yīng)用，同時(shí)考查學(xué)生分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與歸化的能力．