Question

16．已知常數(shù)a，b∈R，且不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，則ab的最大值為$\frac{1}{2}$e³．

Answer 1

分析 由題意可得不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，即任意正數(shù)x，x-alnx+a-b≥0恒成立，即x+a-b≥alnx恒成立，a＞0是必然的，設(shè)曲線y=alnx的切線l與直線y=x+a-b平行，求出切點(diǎn)，以及切線方程，可得x+a-b≥x+alna-a，ab≤a•a（2-lna），構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²（2-lnx），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到ab最大值．

解答 解：不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，即任意正數(shù)x，x-alnx+a-b≥0恒成立，
即x+a-b≥alnx恒成立，當(dāng)題目條件成立時(shí)，a＞0是必然的，
設(shè)曲線y=alnx的切線l與直線y=x+a-b平行，
由$\frac{a}{x}$=1，解得x=a，切點(diǎn)為（a，alna），
則可以求得直線l方程為y=x+alna-a．
于是必有x+a-b≥x+alna-a，即b≤2a-alna，
當(dāng)ab取得最大值時(shí)，必然b＞0，于是ab≤a•a（2-lna），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²（2-lnx），導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x-2xlnx，x＞0，
當(dāng)x＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則x=e${\;}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，取得極大值，也為最大值f（e${\;}^{\frac{3}{2}}$）=e³（2-lne${\;}^{\frac{3}{2}}$）=（2-$\frac{3}{2}$）e${\;}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{3}{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{2}{e^3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式解法及應(yīng)用，注意運(yùn)用恒成立思想、構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．