Question

設(shè)函數(shù)在上的最大值為（）．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求證：對任何正整數(shù)n (n≥2)，都有成立；
（3）設(shè)數(shù)列的前n項和為S_n，求證：對任意正整數(shù)n，都有成立．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求得，令，得或，因為要考慮根與定義域的位置關(guān)系，故需討論n的取值．當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，將定義域分段，并考慮導(dǎo)函數(shù)符號，劃分單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)大致圖象，進而求最大值，從而求得；（2）由（1）得，將所求證不等式等價變形為，，再利用二項式定理證明；（3）由（2）得，，再將不等式放縮為可求和的數(shù)列問題處理．
（1）
，
當(dāng)時，由知或，         
當(dāng)時，則，時，，在上單調(diào)遞減，
所以
當(dāng)時，，時，，時，，
∴在處取得最大值，即，
綜上所述，.
（2）當(dāng)時，要證，只需證明
∵

∴,所以，當(dāng)時，都有成立．
（3）當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)時，由（II）知


．
所以，對任意正整數(shù)，都有成立．                    13分