Question

15．平面內(nèi)到定點(diǎn)F（0，1）和定直線l：y=-1的距離之和等于4的動點(diǎn)的軌跡為曲線C，關(guān)于曲線C的幾何性質(zhì)，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C的方程為x²=4y；                                ②曲線C關(guān)于y軸對稱  
③若點(diǎn)P（x，y）在曲線C上，則|y|≤2；          ④若點(diǎn)P在曲線C上，則1≤|PF|≤4
其中，所有正確結(jié)論的序號是②③④．

Answer 1

分析 設(shè)出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出曲線方程，畫出圖象，即可判斷選項(xiàng)的正誤．

解答 解：設(shè)P（x，y）是曲線C上的任意一點(diǎn)，
因?yàn)榍�線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)F（0，1）
和定直線l：y=-1的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡，
所以|PF|+|y+1|=4．即$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}+|y+1|=4$，
解得y≥-1時(shí)，y=2-$\frac{1}{4}$x²，當(dāng)y＜-1時(shí)，y=$\frac{1}{12}$x²-2；
顯然①不正確；
②曲線C關(guān)于y軸對稱；正確．
③若點(diǎn)P（x，y）在曲線C上，則|y|≤2；正確．
④若點(diǎn)P在曲線C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，則1≤|PF|≤4．正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查曲線軌跡方程的求法，曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．