Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2（x∈R）．當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
=

3

sin2x-1+cos2x+2
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1
=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得-

π

3

≤x≤

π

6

．
∴當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．