已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)f(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
],試寫出f1(x),f2(x)的表達式,并判斷f(x)是否為[0,
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,請求對應的k的值;如果不是,請說明理由;
(2)已知b>0,函數(shù)g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍.
分析:(1)由題意可得,f1(x)=0,f2(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
]
,于是f2(x)-f1(x)=2sinx.若f(x)是[0,
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”,則2sinx≤kx在[0,
π
2
]上恒成立,且?x1∈[0,
π
2
]使得2sinx>(k-1)x成立,構造函數(shù)φ(x)=sinx-x,x∈[0,
π
2
],可得2sinx≤2x在[0,
π
2
]恒成立,由此可得結論;
(2)先對函數(shù)g(x)進行求導判斷函數(shù)的單調性,進而寫出g1(x)、g2(x)的解析式,分類討論,利用g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),即可得到答案.
解答:解:(1)由題意可得,f1(x)=0,f2(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
]

于是f2(x)-f1(x)=2sinx.
若f(x)是[0,
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”,則2sinx≤kx在[0,
π
2
]上恒成立,且?x1∈[0,
π
2
]使得2sinx>(k-1)x
成立.
令φ(x)=sinx-x,x∈[0,
π
2
],則φ′(x)=cosx-1<0,所以φ(x)=sinx-x在[0,
π
2
]單調遞減,
∴φ(x)≤φ(0),x∈[0,
π
2
],即sinx≤x,于是2sinx≤2x在[0,
π
2
]恒成立;
又?x1=
π
2
,2sinx>x成立.
故存在最小的正整數(shù)k=2,使f(x)為[0,
π
2
]上的“2階收縮函數(shù)”. 
(2)g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令g'(x)=0得x=0或x=2.
令g(x)=0,解得x=0或3.
函數(shù)g(x),g′(x)的變化情況如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g′(x) - 0 + 0 -
g(x) 0 4
(。゜≤2時,g(x)在[0,b]上單調遞增,
因此,g2(x)=g(x)=-x3+3x2,g1(x)=g(0)=0.
因為g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),
所以,①g2(x)-g1(x)≤2(x-0)對x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得g2(x)-g1(x)>(x-0)成立.
①即:-x3+3x2≤2x對x∈[0,b]恒成立,由-x3+3x2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2,
要使-x3+3x2≤2x對x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1.
②即:存在x∈[0,b],使得x(x2-3x+1)<0成立.
由x(x2-3x+1)<0得:x<0或
3-
5
2
<x<
3+
5
2
,所以,需且只需b>
3-
5
2

綜合①②可得:
3-
5
2
<b≤1

(ⅱ)當b>2時,顯然有
3
2
∈[0,b]
,由于g(x)在[0,2]上單調遞增,根據(jù)定義可得:g2(
3
2
)=
27
8
,g1(
3
2
)=0
,可得g2(
3
2
)-g1(
3
2
)=
27
8
>2×
3
2
=3
,
此時,g2(x)-g1(x)≤2(x-0)不成立.
綜合(ⅰ),(ⅱ)可得:
3-
5
2
<b≤1
點評:本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力.要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題.
練習冊系列答案
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3
3

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2n,n為奇數(shù)
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π
4
,-
1
2
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π
2
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A、f(2a)<f(3)<f(log2a)B、f(3)<f(log2a)<f(2a)C、f(log2a)<f(3)<f(2a)D、f(log2a)<f(2a)<f(3)

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