Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若，求邊c的值．

Answer 1

解：（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以；…（6分）
（2）由及0＜A＜π，可得：A=，
∴，
由，得，
即，
可得：，…（8分）
由，知，
于是或，
所以或，…（10分）
若，則，
在直角△ABC中，，
解得：；
若，在直角△ABC中，，
解得：．…（12分）
分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，并根據(jù)sinA的值不為0，即可求出cosA的值；
（2）由第一問求出的cosA的值及A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而得出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的等式中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin（B+）的值，由A的度數(shù)求出B+的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得出B的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出c的值．
點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導公式，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．