Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分別是棱BC、CC₁上的點（點D不在BC的端點處），且AD⊥DE，F為B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：A₁F∥平面ADE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明AD⊥平面B₁BCC₁，然后，得到平面和平面垂直；（Ⅱ）首先，根據（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，連接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即可得到相應的結論．

解答： 解：（Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC₁，∵AD⊥DE，且DE∩CC₁=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面B₁BCC₁，
（Ⅱ）根據（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，∵BC?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，∴D為BC的中點，
連接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即四邊形AA₁FD為平行四邊形，∴A₁F∥AD，
∵AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，
A₁F∥平面ADE．

點評：本題重點考查了空間中直線與平面平行、垂直，直線與直線平行的判定等知識，屬于中檔題，難度中等，解題關鍵是準確判斷平行和垂直的判定和性質．