Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°．
（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離，
（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小．

Answer 1

（I）如圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O．連接OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連接PE．

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD．由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=

3

∴PO=PE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為

3

2

．
（II）解法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.P(0，0，

3

2

)，B(0，

3 3

2

，0)，PB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，

3 3

4

，

3

4

)．連接AG．

又知A(1，

3

2

，0)，C(-2，

3 3

2

，0)．由此得到：

GA

=(1，-

3

4

，-

3

4

)，

PB

=(0，

3 3

2

，-

3

2

)，

BC

=(-2，0，0)．
于是有

GA

•

PB

=0，

BC

•

PB

=0
所以

GA

⊥

PB

•

BC

⊥

PB

.

GA

，

BC

的夾角θ
等于所求二面角的平面角，
于是cosθ=

GA • BC

| GA |•| BC |

=-

2 7

7

，
所以所求二面角的大小為π-arccos

2 7

7

．
解法二：如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連接EG、AG、GF，則AG⊥PB，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC．

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角．
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG．
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°．
在Rt△PEG中，EG=PE•cos60°=

3

2

．
在Rt△PEG中，EG=

1

2

AD=1．
于是tan∠GAE=

EG

AE

=

3

2

，
又∠AGF=π-∠GAE．
所以所求二面角的大小為π-arctan

3

2

．