Question

【題目】函數(shù)f（x）=x2+bx﹣1（b∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=|f（x）|﹣2有四個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），求g（b）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2+bx﹣1的圖像是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=﹣ 為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，

∵y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，

∴﹣ ≤1，

即：b≥﹣2

（2）解：函數(shù)y=|f（x）|﹣2有四個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=|f（x）|與直線(xiàn)y=2有四個(gè)交點(diǎn)，

∵ 的最小值為

∴只需 即：b∈（﹣1，1）

（3）解：①當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|在[0，b）上單調(diào)增，

g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b2﹣1|}=

②當(dāng)b＜0時(shí)，|f（0）|=f（|b|）=1，

又 ＞1，所以g（b）=

綜上所述，g（b）=

【解析】（1）函數(shù)f（x）=x2+bx﹣1的圖像是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=﹣ 為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，則﹣ ≤1，解處b的取值范圍；（2）若函數(shù)y=|f（x）|﹣2有四個(gè)零點(diǎn)，則 ，解得b的取值范圍；（3）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)分類(lèi)討論，可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．