Question

設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換． 求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，欲求出矩陣M^-1，可由已知直接寫出M^-1．設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)（x₀，y₀），變換后的坐標(biāo)（x₀′，y₀′），根據(jù)逆變換公式，知道之間的關(guān)系，代入，即可求出新曲線方程．

解答：解：∵M(jìn)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換，
∴逆矩陣M^-1是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到

1

2

倍，縱坐標(biāo)縮短到

1

3

倍的伸壓變換
∴M-1=

1 2 0 0 1 3

．（5分）
任意選取橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上的一點(diǎn)P（x₀，y₀），它在矩陣 M-1=

1 2 0 0 1 3

對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)镻'（x₀′，y₀′），則有

1 2 0 0 1 3

 

x0 y0

=

x ′ 0 y ′ 0

，故

x0=2 x ′ 0 y0=3 y ′ 0

．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上，所以x₀^'2+y₀^'2=1．
橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣變換以及逆矩陣的求法問(wèn)題，屬于綜合性的問(wèn)題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但在分析上有一定的難度，屬于中檔題．