Question

在對(duì)某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取10件，測(cè)量該產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：

規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量≥15毫克時(shí)為優(yōu)質(zhì)品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率（優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù)）；
（Ⅱ）從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由已知條件，利用古典概型概率的計(jì)算公式，能求出甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率．
（II）ξ的取值為1，2，3．分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有7件，優(yōu)等品率為

7

10

．
乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有8件，優(yōu)等品率為

8

10

=

4

5

．…（4分）
（II）ξ的取值為1，2，3．…（5分）

P(ξ=1)= C 1 8 • C 2 2 C 3 10 = 1 15 ，

…（7分）
P(ξ=2)=

C 2 8 • C 1 2

C 3 10

=

7

15

，…（9分）
P(ξ=3)=

C 3 8 • C 0 2

C 3 10

=

7

15

…（11分）
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 15	7 15	7 15

…（12分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

1

15

+2×

7

15

+3×

7

15

=

12

5

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用．