函數(shù)的性質通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性等,請選擇適當?shù)奶骄宽樞,研究函?shù)f(x)=
1-sinx
+
1+sinx
的性質,并在此基礎上,作出其在[-π,π]的草圖.
分析:本題研究的順序為:先研究定義域、奇偶性、周期性,再研究函數(shù)的單調性、值域,最后畫出圖形.
解答:解:①∵
1-sinx≥0
1+sinx≥0

∴f(x)的定義域為R;(2分)
②∵f(-x)=
1-sin(-x)
+
1+sin(-x)
=
1+sinx
+
1-sinx
=f(x)
,
∴f(x)為偶函數(shù);(4分)
③∵f(x+π)=
1-sin(x+π)?
+
1+sin(x+π)?
=
1-sinx
+
1+sinx
=f(x),
∴f(x)是周期為π的周期函數(shù);(6分)
④當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)=
(
1-sinx
+
1+sinx
)
2
=
2+2|cosx|
=2cos
x
2
,
∴當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)單調遞減;當x∈[
π
2
,π]
時,
f(x)=
(
1-sinx
+
1+sinx
)
2
=
2+2|cosx|
=
2-2cosx
=2sin
x
2

f(x)單調遞增;又∵f(x)是周期為π的偶函數(shù),
∴f(x)在[kπ+
π
2
,kπ+π]
上單調遞增,在[kπ,kπ+
π
2
]
上單調遞減(k∈Z);(8分)
⑤∵當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)=2cos
x
2
∈[
2
,2]
;
x∈[
π
2
,π]
時,f(x)=2sin
x
2
∈[
2
,2]

∴f(x)的值域為[
2
,2]
;(10分)
⑥由以上性質可得:f(x)在[-π,π]上的圖象如圖所示:
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(12分)
點評:本題考查二倍角公式的應用,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質,以及y=Asin(ωx+φ)的圖象及性質.
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12
)的值;
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π
4
]時,求f(x)的取值范圍;
(Ⅲ)我們知道,函數(shù)的性質通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性等,請你探究函數(shù)f(x)的性質(本小題只需直接寫出結論)

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1-sinx
+
1+sinx
的性質,并在此基礎上填寫下表,作出f(x)在區(qū)間[-π,2π]上的圖象.
性質 理由 結論 得分
定義域      
值域      
奇偶性      
周期性      
單調性      
 
對稱性      
作圖
 
 

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