【題目】如圖，正方體的棱長為2，P是BC的中點，點Q是棱上的動點．

（1）點Q在何位置時，直線，DC，AP交于一點，并說明理由；

（2）求三棱錐的體積；

（3）棱上是否存在動點Q，使得與平面所成角的正弦值為，若存在指出點Q在棱上的位置，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）當Q是中點時，直線，DC，AP交于一點，理由詳見解析；（2）；（3）存在點Q，且點Q為的中點.

【解析】

(1)畫出輔助線延長AP交DC于M,連結(jié)交于點Q,利用相似三角形證明即可.

(2)換頂點求解三棱錐的體積即可.

(3)以D為原點建立合適的空間直角坐標系,設,再利用線面夾角的向量解法求出即可.

解：（1）當Q是中點時,直線,DC,AP交于一點．

理由如下：延長AP交DC于M,連結(jié)交于點Q,

∵,∴,

∴．

∵,

∴,∴．

∴Q是中點．

（2）V棱錐棱錐．

（3）以D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建系

則,,,,

,,

設面的法向量為,則

取,,即

設與面所成角為

則

化簡得

解得或（舍去）

所以存在點Q,且點Q為的中點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．

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【題目】已知．（其中實數(shù)）．

（1）分別求出p，q中關(guān)于x的不等式的解集M和N；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.

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（1）求拋物線C的方程；

（2）若過P（，0）的直線與C相交于M，N兩點，且2，求直線l的方程．

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）設，曲線在點處的切線在軸上的截距為，求的最小值；

（Ⅱ）若只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知橢圓C：的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓C與A、B兩點，△AF2B的周長為，且橢圓C經(jīng)過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）當AB的中點坐標為時，求△AF2B的面積．

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【題目】(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義（，）為有限實數(shù)列的波動強度.

（1）求數(shù)列1，4，2，3的波動強度；

（2）若數(shù)列，，，滿足，判斷是否正確，如果正確請證明，如果錯誤請舉出反例；

（3）設數(shù)列，，，是數(shù)列，，，，的一個排列，求的最大值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

(1)若，解不等式；

(2)若當時，關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；

(3)設，若存在使不等式成立，求的取值范圍.

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