Question

10．已知向量$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，求$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）若$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （I）先計算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再計算（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）²，開方即可得出答案；
（II）將$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$展開即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1；
∴（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=1+4+16=21，
∴|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$|=$\sqrt{21}$．
（Ⅱ）∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=2-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵0≤cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞≤π
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．