Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．
（1）若函數(shù)f（x）的曲線上一條切線經(jīng)過點(diǎn)M（0，0），求該切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，+∞）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)是（a，$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$），求出a的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
設(shè)切點(diǎn)是（a，$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$），則k=f′（a）=$\frac{a（2-a）}{{e}^{a}}$，
故切線方程是：y-$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$=$\frac{a（2-a）}{{e}^{a}}$（x-a）（*），
將（0，0）帶入（*）得：a=1，
故切點(diǎn)是（1，$\frac{1}{e}$），k=$\frac{1}{e}$，
故切線方程是：y-$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$（x-1），
整理得：y=$\frac{1}{e}$x；
（2）f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
故f（x）在[-3，0）遞減，在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
而f（-3）=9e³，f（0）=0，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，x→+∞時(shí)，f（x）→0，
故f（x）的最小值是0，最大值是f（-3）=9e³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．