Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線分別與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率之積為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）直線恒過點(diǎn)

【解析】分析: （Ⅰ）由題意布列關(guān)于a，b的方程組，解之即可；（Ⅱ）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示直線的斜率之積為，可得值，從而得證.

詳解: （Ⅰ）依題意：，解得，即橢圓；

（Ⅱ）設(shè)直線，

則，

即，

；

設(shè)，而，則由得

,

，

即，

整理得，解得或（舍去）

直線，知直線恒過點(diǎn)．

點(diǎn)睛: 定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).