Question

如果正數數列{a_n}滿足：對任意的正數M，都存在正整數n₀，使得an0＞M，則稱數列{a_n}是一個無界正數列．
（Ⅰ）若a_n=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），bn=

1 n n=1，3，5，… n+1 2 n=2，4，6，…

分別判斷數列{a_n}、{b_n}是否為無界正數列，并說明理由；
（Ⅱ）若a_n=n+2，是否存在正整數k，使得對于一切n≥k，有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n-

1

2

成立；
（Ⅲ）若數列{a_n}是單調遞增的無界正數列，求證：存在正整數m，使得

a1

a2

+

a2

a3

+…+

am

am+1

＜m-2009．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取M=5，顯然a_n=3+2sin（n）≤5不符合無界正數列的定義；對任意的正數M，取n₀為大于2M的一個偶數，bn0=

n0+1

2

＞

2M+1

2

＞M符合無界正數列的定義．
（Ⅱ）

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n-

1

2

變形為n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

從而求得；
（Ⅲ）觀察要證的不等式的結構與（II）相似，故應用（II）變形后，再由{a_n}是單調遞增的無界正數列證明．

解答：解：（Ⅰ）{a_n}不是無界正數列．理由如下：
取M=5，顯然a_n=3+2sin（n）≤5，不存在正整數n₀滿足an0＞5；{b_n}是無界正數列．理由如下：
對任意的正數M，取n₀為大于2M的一個偶數，有bn0=

n0+1

2

＞

2M+1

2

＞M，所以{b_n}是無界正數列．
（Ⅱ）存在滿足題意的正整數k．理由如下：
當n≥3時，
因為n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

=

1

4

+

1

5

++

1

n+3

≥

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

1

2

，
即取k=3，對于一切n≥k，有

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜n-

1

2

成立．
注：k為大于或等于3的整數即可．

（Ⅲ）證明：因為數列{a_n}是單調遞增的正數列，
所以n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

＞

a2-a1

an+1

+

a3-a2

an+1

++

an+1-an

an+1

=

an+1-a1

an+1

=1-

a1

an+1

．
即

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜n-1+

a1

an+1

．
因為{a_n}是無界正數列，取M=2a₁，由定義知存在正整數n₁，使an1+1＞2a1．
所以

a1

a2

+

a2

a3

++

an1

an1+1

＜n1-

1

2

．
由定義可知{a_n}是無窮數列，考察數列an1+1，an1+2，an1+3，
顯然這仍是一個單調遞增的無界正數列，同上理由可知存在正整數n₂，使得

an1+1

an1+2

+

an1+2

an1+3

++

an2

an2+1

＜(n2-n1)-

1

2

．
重復上述操作，直到確定相應的正整數n₄₀₁₈．
則

a1

a2

+

a2

a3

++

an4018

an4018+1

＜(n1-

1

2

)+(n2-n1-

1

2

)++(n4018-n4017-

1

2

)=n₄₀₁₈-2009．
即存在正整數m=n₄₀₁₈，使得

a1

a2

+

a2

a3

++

am

am+1

＜m-2009成立．

點評：本題通過情境設置定義新的數列在研究中滲透著不等式的構造、變形、放縮，培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力．