Question

【題目】已知等差數(shù)列的前項的和為，公差，若，，成等比數(shù)列，；數(shù)列滿足：對于任意的，等式都成立.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若數(shù)列滿足，試問是否存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在

【解析】

（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數(shù)列的通項公式.

（2）根據(jù)遞推關系式進行作差變形，求得，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）根據(jù)，，成等比數(shù)列，則，，成等差數(shù)列，由（2）求得，由此求得，，根據(jù)單調(diào)遞減，對進行分類討論，由此求得的值.

（1）設數(shù)列公差為，由題設得.

即，解得.

∴數(shù)列的通項公式為：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由得，③

∴，④

由得，由①知，，∴.

又，∴數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）假設存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列，則，，成等差數(shù)列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因為當時，，即單調(diào)遞減，

所以當時，，不符合條件，

所以或，

又，所以，所以

當時，得，無解，

當時，得，所以，

綜上：存在唯一正整數(shù)數(shù)組，使，，成等比數(shù)列.