已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形,A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心.
(1)求證:BC⊥SA
(2)若S在底面ABC內(nèi)的射影為O,證明:O為底面△ABC的中心;
(3)若二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2
3
,求三棱錐S-ABC的體積.
分析:(1)由AH⊥面SBC,BC在面SBC內(nèi),知H是△SBC的垂心,故SH⊥BC,由此能夠證明BC⊥SA.
(2)由SO⊥面ABC,知SO⊥BC,由BC⊥SA,知BC⊥面SOA,故AO⊥BC,同理AB⊥OC,由此能夠證明故O為底面△ABC的中心.
(3)由(1)有SA=SB=SC=2
3
,設(shè)CO交AB于F,則CF⊥AB,CF是EF在面ABC內(nèi)的射影,得到∠EFC為二面角H-AB-C的平面角,由此能求出三棱錐S-ABC的體積.
解答:證明:(1)∵AH⊥面SBC,BC在面SBC內(nèi),
∴AH⊥BC,
∵H是△SBC的垂心,∴SH⊥BC,
又∵SH∩AH=H,∴BC⊥面SAH,
∴BC⊥SA.…(4分)
(2)∵SO⊥面ABC,BC在面ABC內(nèi)∴SO⊥BC,

又∵BC⊥SA,SA∩SO=S,
BC⊥面SOA
∴AO⊥BC,同理AB⊥OC,…(8分)
因此O為底面△ABC的垂心,
而三棱錐S-ABC的底面是正三角形,
故O為底面△ABC的中心.
(3)由(1)有SA=SB=SC=2
3
,
設(shè)CO交AB于F,則CF⊥AB,CF是EF在面ABC內(nèi)的射影,
∴EF⊥AB,∴∠EFC為二面角H-AB-C的平面角,
∠EFC=30°,∠ECF=60°,
OC=
3
,SO=3,AB=3,
S△ABC=
3
4
32=
9
3
4
,
VS-ABC=
1
3
S△ABC•SO=
9
3
9
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,考查三角形中心的證明,考查三棱錐體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題.
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2
r
,則球的體積與三棱錐體積之比是( 。
A、πB、2πC、3πD、4π

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2
6
2
6

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3
3

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2
6
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