Question

已知函數(shù)f（x）=x+1，設(shè)g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式（直接寫出猜想結(jié)果）
（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=x2+

n

i=1

gi(x)(n∈N*)在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為6，求n的值．
（符號“

n

i=1

”表示求和，例如：

n

i=1

i=1+2+3+…+n．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果代入求出y=x2+

n

i=1

gi(x)(n∈N*)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用配方法求最值，討論對稱軸是否在定義域內(nèi)．

解答：解：（1）∵g₁（x）=f（x）=x+1，
∴g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想g_n（x）=x+n
（2）∵g_n（x）=x+n，
∴

n

i=1

gi(x)=g1(x)+g2(x)+…+gn(x)=nx+

n(n+1)

2

∴y=x2+

n

i=1

gi(x)=x2+nx+

n(n+1)

2

=(x+

n

2

)2+

n2+2n

4

1°當(dāng)-

n

2

≥-1，即n≤2時，函數(shù)y=(x+

n

2

)2+

n2+2n

4

在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)∴當(dāng)x=-1時，ymin=

n2-n+2

2

=6，即n²-n-10=0，該方程沒有整數(shù)解
2°當(dāng)-

n

2

＜-1，即n＞2時，ymin=

n2+2n

4

=6，解得n=4，
綜上所述，n=4

點評：此題是個中檔題．考查代入法求函數(shù)的解析式、歸納法、和二次函數(shù)求最值的配方法等基本方法，體現(xiàn)了分類討論的思想．很好的考查了學(xué)生的閱讀能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．