如圖所示的幾何體中,PB⊥面ABC,PQ∥AB,PQ=PB=1;Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=
1
2

(1)求QC與面ABC所成角的正弦值;
(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線QC垂直的平面AMN與直線PB,PC分別交于點(diǎn)M,N,求線段MN的長(zhǎng)度.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專(zhuān)題:計(jì)算題,空間角,空間向量及應(yīng)用
分析:以B為原點(diǎn),分別以BA,BC,BP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出A,B,C,P,Q的坐標(biāo),
(1)由題設(shè)可知
BP
為平面ABC的一個(gè)法向量,由向量的夾角公式得到QC與面ABC所成角θ的正弦值為sinθ=|cos<
CQ
,
BP
>|,代入計(jì)算即可;
(2)設(shè)M(0,0,t),則
AM
=(-
1
2
,0,t),由
CQ
AM
=0,即可得到M的坐標(biāo);又設(shè)
PN
=λ
PC
,則N(0,
1
2
λ
,1-λ).由
CQ
AN
=0,即可得到N(0,
1
5
,
3
5
),再由空間兩點(diǎn)的距離公式,即可得到所求值.
解答: 解:(1)以B為原點(diǎn),分別以BA,BC,BP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(
1
2
,0,0),B(0,0,0),C(0,
1
2
,0),P(0,0,1),Q(1,0,1),
由題設(shè)可知
BP
為平面ABC的一個(gè)法向量,
CQ
=(1,-
1
2
,1),
BP
=(0,0,1),
則QC與面ABC所成角θ的正弦值為
sinθ=|cos<
CQ
,
BP
>|=|
CQ
BP
|
CQ
|•|
BP
|
|=|
1
3
2
|=
2
3
;
(2)設(shè)M(0,0,t),則
AM
=(-
1
2
,0,t),
CQ
AM
=-
1
2
+t=0,即t=
1
2
,M(0,0,
1
2
);
又設(shè)
PN
=λ
PC
=λ(0,
1
2
,-1),則N(0,
1
2
λ
,1-λ).
AN
=(-
1
2
,
1
2
λ
,1-λ),由
CQ
AN
=-
1
2
-
1
4
λ
+1-λ=0,解得λ=
2
5
,
故N(0,
1
5
,
3
5
),
故|MN|=
1
25
+(
3
5
-
1
2
)2
=
5
10
點(diǎn)評(píng):本題考查空間直線與平面所成的角的求法,考查空間向量及運(yùn)用,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則向量
AB
的模等于(  )
A、5
B、
17
C、3
2
D、
13

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3x+1 ,  x≤0
log2x ,  x>0
,則f(f(
1
2
))的值是( 。
A、2
B、
4
3
C、1
D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=1,求a+2b+3c的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=
1+ki
2-i

(Ⅰ)若z=
1
2
,求實(shí)數(shù)k的值;      
(Ⅱ)若z為純虛數(shù),求復(fù)數(shù)z.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-(m+1)x+m(m∈R).
(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)α,恒有f(2+cosα)≤0,證明m≥3;
(2)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個(gè)實(shí)根,A,B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,求證:m≥5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB⊥BC,PC=BC=4,AB=2,E、F分別是PB、PA的中點(diǎn).
(1)求證:側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC;
(2)求三棱錐P-CEF的外接球的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于正整數(shù)n,求證:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2(
n
-1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某車(chē)間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).
(1)若日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人,根據(jù)莖葉圖推斷該車(chē)間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人?
(2)從這6名工人中任取2人,設(shè)這兩人加工零件的個(gè)數(shù)分別為x、y,求|x-y|≤2的概率.

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