Question

19．若函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 求導數(shù)得到f′（x）=3x²-2ax+3，根據(jù)條件可得到f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，從而便可得出△≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{a}{2}＜1}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，這樣即可解出a的范圍，即得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+3；
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；
∴△=4a²-36≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-36＞0}\\{\frac{a}{2}＜1}\\{f（1）=1-a+3≥0}\end{array}\right.$；
解得-3≤a≤3，或a＜-3；
∴a≤3；
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．
故選：C．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，基本初等函數(shù)的求導，二次函數(shù)符號和判別式△的關系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．