Question

已知函數(shù)f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)）
（1）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若存在求出來，若不存在，也要說明理由．
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用定義加以證明．
（3）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）的定義域為R，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知f（0）=0，求出a的值，再根據(jù)奇函數(shù)的定義，進行驗證，即可得到答案；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化簡到能直接判斷符號為止，利用x₁＜x₂，判斷出f（x₁）＞f（x₂），利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）方法一：根據(jù)a=0，求出y=f（x）的解析式，從而用y表示出2^x，再利用指數(shù)的性質(zhì)2^x＞0，即可列出關(guān)于y的不等式，求解不等式即可得到y(tǒng)的取值范圍，從而得到函數(shù)f（x）的值域．
方法二：根據(jù)a=0，求出f（x）的解析式，利用分離常數(shù)法，可得f（x）=-1+

1

2x+1

，根據(jù)2^x＞0，依次求解即可得到-1+

1

2x+1

的取值范圍，從而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)），
∴函數(shù)f（x）的定義域為R，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

a

2

-

20

20+1

=0，
∴

a

2

-

1

2

=0，
∴a=1，
又∵當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

-

2x

2x+1

=

1-2x

2(2x+1)

的定義域為R，且對∈R，又f（-x）=

1-2-x

2(2-x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

=-f（x），
∴存在a=1，使函數(shù)f（x）R上的奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

2

-

2x1

2x1+1

-

a

2

+

2x2

2x2+1

=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，
又2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）方法一：
∵函數(shù)f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)），
∴當(dāng)a=0時，f（x）=-

2x

2x+1

=-

2x+1-1

2x+1

=-1+

1

2x+1

，得2^x=

-y

y+1

，
∵2^x＞0，
∴

-y

y+1

＞0，即y（y+1）＜0，
∴-1＜y＜0，
故函數(shù)f（x）的值域為（-1，0）．
方法二：
∵函數(shù)f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)），
∴當(dāng)a=0時，f（x）=-

2x

2x+1

=-

2x+1-1

2x+1

=-1+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-1+

1

2x+1

＜0，
故函數(shù)f（x）的值域為（-1，0）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．利用f（0）=0，是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．