Question

17．若函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時(shí)，總有x₁=x₂，則稱函數(shù)f（x）為單純函數(shù)，例如函數(shù)f（x）=x是單純函數(shù)，但函數(shù)f（x）=x²不是單純函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x，x≥2\\ x-1，x＜2\end{array}\right.$是單純函數(shù)；
②當(dāng)a＞-2時(shí)，函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}$在（0，+∞）上是單純函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）為其定義域內(nèi)的單純函數(shù)，x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④若函f（x）數(shù)是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則在其定義域內(nèi)一定存在x₀使其導(dǎo)數(shù)f'（x₀）=0．
其中正確的命題為①③．（填上所有正確的命題序號(hào)）

Answer 1

分析 利用單純函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：由單純函數(shù)的定義可知單純函數(shù)f（x）的自變量和函數(shù)值是一一映射，
因此單調(diào)函數(shù)一定是單純函數(shù)，但單純函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，①③正確；
當(dāng)a=0時(shí)$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）不是單純函數(shù)，②錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）=x是單純函數(shù)，但其定義域內(nèi)不存在x₀使其導(dǎo)函數(shù)f'（x₀）=0，④錯(cuò)誤．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，簡(jiǎn)易邏輯，屬于中檔題．