Question

13．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，$CD=BE=\sqrt{2}$，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A′-BCDE，其中$A'O=\sqrt{3}$．

（Ⅰ）證明：A′O⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求O到平面A′DE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明A′O⊥平面BCDE．
（Ⅱ）利用等體積，求O到平面A′DE的距離．

解答 （Ⅰ）證明：在圖1中，易得OC=3，AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，
連結OD，OE，在△OCD中，
由余弦定理可得OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}-2OC•CDcos45°}$=$\sqrt{5}$
由翻折不變性可知A'D=2$\sqrt{2}$，
∴A'O²+OD²=A'D²，
∴A'O⊥OD．
同理可證A'O⊥OE，
又OD∩OE=O，
∴A'O⊥平面BCDE．
（Ⅱ）解：過D作DH⊥BC交OC于H，則DH=1，
∵DE=4，∴S_△ODE=$\frac{1}{2}×4×1$=2．
∵S_△A′DE=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{8-4}$=4，
∴由等體積可得，O到平面A′DE的距離=$\frac{2×\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查直線和平面垂直的判定定理以及點到平面距離的計算，要求熟練掌握相應的判定定理和體積的計算．