【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+2x﹣1.
(1)求f(x)的極值;
(2)若對(duì)任意的x>1,都有f(x)﹣k(x﹣1)>0(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
【答案】(1)極小值為﹣e﹣3﹣1,無(wú)極大值;(2)最大值為4.
【解析】
(1)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由極值定義得解;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的范圍,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的范圍,由此得到答案.
(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),f′(x)=lnx+3,
令f′(x)=0,解得x=e﹣3,
當(dāng)x∈(0,e﹣3)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)遞減;
當(dāng)x∈(e﹣3,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)遞增;
故f(x)的極小值為f(e﹣3)=﹣e﹣3﹣1,無(wú)極大值;
(2)原式可化為,
令,則,
令h(x)=x﹣2﹣lnx(x>1),則,
故h(x)在(1,+∞)上遞增,
故存在唯一的x0∈(3,4),使得h(x0)=0,即lnx0=x0﹣2,
且當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),h(x)<0,g′(x)<0,g(x)遞減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0,g′(x)>0,g(x)遞增;
故g(x)min=g(x0)=x0+1,
故k<x0+1∈(4,5),所以實(shí)數(shù)k的最大值為4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面,且使截面與底面BCD所成的角為,這樣的截面有( )
A.6個(gè)B.12個(gè)C.16個(gè)D.18個(gè)
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【題目】在從100到999的所有三位數(shù)中,百位、十位、個(gè)位數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的有__________個(gè);構(gòu)成等比數(shù)列的有__________個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時(shí),是否存在,使得成立?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家正積極推行垃圾分類工作,教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關(guān)于在學(xué)校推進(jìn)生活垃圾分類管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各學(xué)校生活垃圾分類知識(shí)普及率要達(dá)到100%某市教育主管部門據(jù)此做了“哪些活動(dòng)最能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行垃圾分類”的問(wèn)卷調(diào)查(每個(gè)受訪者只能在問(wèn)卷的4個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè))如圖是調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖,以下結(jié)論正確的是( )
A.回答該問(wèn)卷的受訪者中,選擇的(2)和(3)人數(shù)總和比選擇(4)的人數(shù)多
B.回該問(wèn)卷的受訪者中,選擇“校園外宣傳”的人數(shù)不是最少的
C.回答該問(wèn)卷的受訪者中,選擇(4)的人數(shù)比選擇(2)的人數(shù)可能多30人
D.回答該問(wèn)卷的總?cè)藬?shù)不可能是1000人
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是某校某班44名同學(xué)的某次考試的物理成績(jī)y和數(shù)學(xué)成績(jī)x的散點(diǎn)圖:
根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)A,B.經(jīng)調(diào)查得知,A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常,B生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確,剔除這兩組數(shù)據(jù)后,對(duì)剩下的數(shù)據(jù)作處理,得到一些統(tǒng)計(jì)量的值:
,,,,,其中,分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī),.y與x的相關(guān)系數(shù).
(1)若不剔除A、B兩名考生的數(shù)據(jù),用44數(shù)據(jù)作回歸分析,設(shè)此時(shí)y與x的相關(guān)系數(shù)為,試判斷與r的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到),并估計(jì)如果B考生參加了這次物理考試(已知B考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>125分),物理成績(jī)是多少?(精確到個(gè)位).
附:回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
已知函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在處的切線也是拋物線的切線,求的值;
(2)若對(duì)于任意恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),是否存在,使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在上的最小值相等?若存在,求符合條件的的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論:①對(duì),,使得無(wú)解;②對(duì),,使得有兩解;③當(dāng)時(shí),,使得有解;④當(dāng)時(shí),,使得有三解.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形沿折成二面角,其中為的中點(diǎn).已知,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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