Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且和滿足：.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求的前項(xiàng)和；
(3)在(2)的條件下，對(duì)任意，都成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）整數(shù)的最大值為7.

試題分析：（1）用代替等式中的，得到，兩式相減并化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而依題意可得，進(jìn)而由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中求出的通項(xiàng)公式得到，從而根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法可得到；（3）對(duì)任意，都成立，等價(jià)于，只需要求出數(shù)列的最小項(xiàng)的值即可，這時(shí)可用的方法來(lái)探討數(shù)列的單調(diào)性，從而確定，最后求解不等式，從而可確定整數(shù)的最大值.
試題解析：∵①
∴②
①－②得
即
化簡(jiǎn)得
∵
∴
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴
(2)
∴
(3)由(2)知

∴數(shù)列是遞增數(shù)列
∴
∴
∴整數(shù)的最大值是.項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系；2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.裂項(xiàng)求和的方法；4.數(shù)列最小項(xiàng)的求法.