Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD的中點，
（Ⅰ）試證：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）設PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由已知DFAB且∠DAB為直角， 故ABFD是矩形，從而CD⊥BF， 又PA⊥底面ABCD，CD⊥AD， 故由三垂線定理知CD⊥PD， 在△PDC中，E、F分別為PC、CD的中點， 故EF∥PD， 從而CD⊥EF， 由此得CD⊥面BEF；
（Ⅱ）解：如圖，連接AC，交BF于G，易知G為AC的中點， 連接EG，則在△PAC中易知EG∥PA， 又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD， 在底面ABCD中，過G作GH⊥BD，垂足為H， 連接EH，由三垂線定理知EH⊥BD， 從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角， 設AB=a，則在△PAC中，有， 以下計算GH，考慮底面的平面圖（如圖2）， 連結GD， 因， 故， 在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得， 而， 從而得， 因此， 由k＞0知∠EHG是銳角， 故要使∠EHG＞30°，必須， 解之得，k的取值范圍為。