【題目】已知 ,方程f(x)=0有3個(gè)不同的根.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2且滿足x2=2x1 , 若存在,求實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:由f(x)=0得: 或ln(x2+1﹣m)=0,

可得

方程f(x)=0有3個(gè)不同的根,

從而0<m<1;


(2)解:由(1)得:0<m<1,

f′(x)=(3x2﹣m)ln(x2+1﹣m)+ ,

令x2=t,設(shè) ,

∴g(0)=﹣mln(1﹣m)>0,∵0<m<1,

∴2﹣m>1,∴g(1)>0.g(a)=0,

,

∵0<m<1,∴g( )<0

∴存在t1∈(0, ),使得g(t1)=0,另外有m∈( ,1),使得g(a)=0

假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且滿足x2=2x1,

則存在x1∈(0, ),使得f′(x1)=0,另外有f′( )=0,即x2= ,

∴x1= ,∴f′( )=0,即(1﹣ m)ln(1﹣ m)+ m=0 (*)

設(shè)h(m)=(1﹣ m)ln(1﹣ m)+ m,

∴h′(a)=﹣ mln(1﹣ m)+ ,

∵0<m<1,∴h′(m)>0,

∴h(m)在(0,1)上是增函數(shù)

∴h(m)>h(0)=0

∴方程(*)無解,

即不存在實(shí)數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且滿足x2=2x1


【解析】(1)根據(jù)f(x)=0,得到關(guān)于m的不等式,解出m的范圍即可;(2)求導(dǎo)數(shù),換元,存在t1∈(0, ),使得g(t1)=0,另外有m∈( ,1),使得g(m)=0,再利用反證法,即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為,以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn), 分別是橢圓的左、右頂點(diǎn).

)求圓和橢圓的方程.

)已知 分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)(, 位于軸兩側(cè)),且直線軸平行,直線 分別與軸交于點(diǎn) .求證: 為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率,市場(chǎng)價(jià)格(單位:千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量(單位:萬件)之間近似滿足關(guān)系式:,其中、均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率為時(shí),若市場(chǎng)價(jià)格為5千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為1萬件;當(dāng)關(guān)稅稅率為時(shí),若市場(chǎng)價(jià)格為7千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬件.

(1)試確定、的值;

(2)市場(chǎng)需求量(單位:萬件)與市場(chǎng)價(jià)格近似滿足關(guān)系式:.當(dāng)時(shí),市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格.當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過4千元時(shí),試確定關(guān)稅稅率的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=﹣1,|an﹣an1|=2n1(n∈N,n≥2),且{a2n1}是遞減數(shù)列,{a2n}是遞增數(shù)列,則a2016=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.

(1)求證:AB1⊥CC1;
(2)若 ,求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求的值;

(2)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.

(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=3,延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD,公園由形狀為長(zhǎng)方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10(如圖所示)

(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比x(x>1),求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;

(2)要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),

Ⅰ)若函數(shù)處的切線方程為,求的值;

Ⅱ)當(dāng)時(shí),若不等式恒成立,求的取值范圍;

Ⅲ)當(dāng)時(shí),若方程上總有兩個(gè)不等的實(shí)根, 的最小值

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案