Question

如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0），C（-2，2），點P在BC邊上移動，線段OP的垂直平分線交y軸于點E，點M滿足

EM

=

EO

+

EP

（1）求點M的軌跡方程；
（2）已知點F（0，

1

2

），過點F的直線l交點M的軌跡于Q、R兩點，且

QF

=λ

FR

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意設出P的坐標，設出M的坐標，求出線段OP的垂直平分線方程，得到E的坐標，由

EM

=

EO

+

EP

，得到P與M坐標的關(guān)系式，消參后得到M的軌跡方程；
（2）設出直線l的方程，和（1）中求得的曲線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到Q，R兩點的橫坐標的和與積，由

QF

=λ

FR

得到關(guān)于λ與直線l的斜率的等式，由l的斜率的范圍得到關(guān)于λ的不等式，求解不等式得實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設P（t，2）（-2≤t≤2），M（x，y）
當t=0時，點M與E重合，則M（0，1）；
當t≠0時，線段OP的垂直平分線方程為y-1=-

t

2

(x-

t

2

)，
令x=0，得y=

t2+4

4

，即E（0，

t2+4

4

），
由

EM

=

EO

+

EP

，得（x，y-

t2+4

4

）=（0，-

t2+4

4

）+（t，2-

t2+4

4

），
∴

x=t y=2- t2+4 4

，消去t，得x²=-4（y-1），
點（0，1）適合上式，故點M的軌跡方程為x²=-4（y-1）（-2≤x≤2）；
（2）設l：y=kx+

1

2

，（-

1

4

≤k≤

1

4

），代入x²=-4（y-1），
得x²+4kx-2=0，
設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則

△=16k2+8＞0 x1+x2=-4k x1x2=-2

，
由

QF

=λ

FR

，得x₁=-λx₂，∴

(1-λ)x2=-4k -λx22=-2

，則

(1-λ)2

λ

=8k2，
∵0≤k2≤

1

16

，∴0≤

(1-λ)2

λ

≤

1

2

，
即2λ²-5λ+2≤0（λ＞0），解得：

1

2

≤λ≤2．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，解答的關(guān)鍵是利用向量間的關(guān)系得等式，訓練了利用消參數(shù)法求曲線方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．