Question

汽車租賃公司為了調(diào)查A，B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
A型車

出租天數(shù)	1	2	3	4	5	6	7
車輛數(shù)	5	10	30	35	15	3	2

B型車

出租天數(shù)	1	2	3	4	5	6	7
車輛數(shù)	14	20	20	16	15	10	5

（ I）從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限A，B兩種車型）中隨機抽取一輛，估計這輛汽車恰好是A型車的概率；
（Ⅱ）根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率；
（Ⅲ）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種車型中購買一輛，請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種車型，并說明你的理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,互斥事件的概率加法公式,等可能事件的概率,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天分為以下三種情況：A型車1天B型車3天；A型車B型車都2天；A型車3天B型車1天，利用互斥事件和獨立事件的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）從數(shù)學(xué)期望和方差分析即可得出結(jié)論．

解答： 解：（ I）∵出租天數(shù)為3天的汽車A型車有30輛，B型車20輛．從中隨機抽取一輛，這輛汽車是A型車的概率約為

30

30+20

=0.6．
（ II）設(shè)“事件A_i表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，
“事件B_j表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其中i，j=1，2，…，7．
則該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為
P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）          
=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）
=

5

100

×

20

100

+

10

100

×

20

100

+

30

100

×

14

100

      
=

9

125

．
該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為

9

125

．
（Ⅲ）設(shè)X為A型車出租的天數(shù)，則X的分布列為

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

設(shè)Y為B型車出租的天數(shù)，則Y的分布列為

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
 一輛A類型的出租車一個星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，B類車型一個星期出租天數(shù)的平均值為3.48天．
從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，A型車出租天數(shù)的方差大于B型車出租天數(shù)的方差，綜合分析，選擇A類型的出租車更加合理．

點評：上來掌握古典概型的概率計算公式、互斥事件和獨立事件的概率計算公式、數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式和意義是解題的關(guān)鍵．