Question

2．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于點(diǎn)A，B），直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)．有以下四個(gè)命題：
①M(fèi)O∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正確的命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①先證明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；
②PA在平面MOB內(nèi)，可得①錯(cuò)誤；
③可證PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可證明OC⊥平面PAC不成立；
④由③知BC⊥平面PAC，即可證明平面PAC⊥平面PBC．

解答 解：①因?yàn)镸O∥PA，MO?平面PAC，PA?平面PAC，所以MO∥平面PAC；
②因?yàn)镻A在平面MOB內(nèi)，所以①錯(cuò)誤；
③因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．因?yàn)榭臻g內(nèi)過一點(diǎn)作已知平面的垂線有且只有一條，所以O(shè)C⊥平面PAC不成立，③錯(cuò)誤；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
正確命題的序號(hào)是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．