Question

(本題滿分13分)已知拋物線過點。

（1）求拋物線的標準方程，并求其準線方程；

（2）是否存在平行于(為坐標原點）的直線，使得直線與的距離等于?

若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由。

（3）過拋物線的焦點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與拋物線相交于點，與拋物線相交于點，求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) 拋物線的方程為，其準線方程為 (2) 符合題意的直線存在，其方程為 (3) 的最小值為16.

【解析】

試題分析：（1）將帶入，得，所以,

故所求拋物線的方程為，其準線方程為.                   ……2分

（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為,

由得,                                     ……3分

直線與拋物線有公共點，

解得,                                           ……4分

由直線與的距離可得，解得,                 ……5分

,

符合題意的直線存在，其方程為.                        ……7分

(3)由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為,

由，得,

設(shè)，則是上述方程的兩個實根,

于是,

因為，所以斜率為，

設(shè)，則同理可得。

故==

==

=

=,

當且僅當，即時取最小值.                    ……13分

考點：本小題主要考查雙曲線標準方程的求法和直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用以及平面向量的坐標運算、基本不等式的應(yīng)用等，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力和運算求解能力.

點評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考考查的重點內(nèi)容，且一般出在壓軸題的位置，難度較大，主要是運算量較大，所以要充分利用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，盡量簡化運算.